<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          Tel.: (21) 3478-4442
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
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          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
Sumrio

Quarta Parte

<F->
Unidade 4 -- Temas da 
  geometria
Captulo 14- Razes 
  trigonomtricas no 
  tringulo retngulo ::::: 369
Relaes em tringulos 
  retngulos 
  semelhantes ::::::::::::: 370
Razes trigonomtricas ::: 374
Relaes entre as razes 
  trigonomtricas ::::::::: 377
Aplicaes das razes  
  trigonomtricas ::::::::: 393

Unidade 5 -- Estatstica 
  e probabilidade 
Captulo 15- Noes de 
  estatstica ::::::::::::: 430
Noes de estatstica :::: 431
Variveis discretas :::::: 433
Variveis contnuas :::::: 445
Variveis qualitativas ::: 454
<p>
Mdia :::::::::::::::::::: 476
Moda ::::::::::::::::::::: 477
Mediana :::::::::::::::::: 479
<F+>
<142>
<T mat. realidade 9>
<t+369> 
<F+>
<R+>
Unidade 4 -- Temas da geometria

Captulo:
 14- Razes trigonomtricas no 
  tringulo retngulo 

Unidade 5 -- Estatstica e 
  probabilidade 

Captulos:
 15- Noes de estatstica 
 16- Contagem e probabilidade 
<R->

Captulo 14- Razes 
  trigonomtricas no tringulo 
  retngulo 

A escada, o pedreiro e sua sombra 

  Observe a figura _`[no representada_`]. 
  Uma escada com seis degraus est apoiada, em C, num muro de 2 m de altura. 
  A distncia entre dois degraus vizinhos  40 cm. Logo, o comprimento da escada  2,80 m. 
<p>
  A distncia da base da escada (B)  base do muro (A)  1,96 m, aproximadamente. 
  O tringulo {a{b{c formado  retngulo em :A, em que ^c?{a{b* e ^c?{a{c* so os catetos e ^c?{b{c*  a hipotenusa. 
  Ao meio-dia, com o sol a pino, um pedreiro sobe a escada, degrau por degrau. 
  A sombra de seu p no cho tambm vai mudar de posio. 
  Vamos ver como esse exemplo simples nos permite tirar concluses importantes em Matemtica. 
 
Relaes em tringulos retngulos 
  semelhantes 

  A figura _`[no representada_`] mostra a situao anterior, de maneira simplificada:  
<R+>
 posies do p do pedreiro: C1, C2, C3, C4, C5 e C6;
<p>
 posies da sombra do p no cho: A1, A2, A3, A4, A5 e A6.
<R->
  Os tringulos {b{a1C1, {b{a2C2, {b{a3C3, etc. so todos semelhantes entre si. Observe a razo:
<R+>
 altura do p ~ distncia 
  percorrida 
 A1C1~{b{c1=
  =A2C2~{b{c2=
  =A3C3~{b{c3=...=
  ={a{c~{b{c=2,00~2,80=
  =0,71.429
<R->
  Podemos observar que a altura do p do pedreiro em relao ao cho  diretamente proporcional  distncia que ele percorreu na escada. 
  Temos tambm a razo: 
 distncia da sombra  base da 
  escada ~ distncia percorrida
 {b{a1~{b{c1={b{a2~{b{c2=
  ={b{a3~{b{c3=...=
  ={b{a~{b{c=1,96~2,80=
  =0,70.000
<143>
  Da mesma forma a distncia da sombra do p do pedreiro  base da escada  diretamente proporcional  distncia que ele percorreu na escada. 
  Temos, ainda: 
 altura do p ~ distncia da 
  sombra  base da escada
 A1C1~{b{a1=
  ={a2C2~{b{a2=
  =A3C3~{b{a3=...=
  ={a{c~{b{a=2,00~1,96=
  =1,02.041
  A altura do p do pedreiro em relao ao cho  diretamente proporcional  distncia da sombra do seu p  base da escada. 
  Acabamos de ver que, fixado o ngulo `(:B`) que a escada faz com o cho, as razes: 
<R+>
cateto oposto a :B~ 
  ~ hipotenusa, cateto adjacente a :B~ hipotenusa, cateto oposto a :B~ cateto 
  adjacente a :B 
<R->
<p>
  No dependem do tamanho do tringulo considerado. Em qualquer dos tringulos, {b{a1C1, {b{a2C2, {b{a3C3, etc. essas razes valem, respectivamente: 0,71.429; 0,70.000; 1,02.041. 
  Esses nmeros esto diretamente ligados  medida do ngulo :B. 
  Se colocarmos a escada em outra posio, como mostra a figura 
 _`[no representada_`], formando com o cho outro ngulo, :B, encontraremos as seguintes razes: 
<R+>
<F->
cateto oposto :B~ 
  ~ hipotenusa =2,00~2,40=
  =0,83.333 
cateto adjacente a :B~ 
  ~ hipotenusa =1,33~2,40=
  =0,55.417 
cateto oposto a :B~ 
  ~ cateto adjacente a :B=
  =2,00~1,33=1,50.376
<F+>
<R->
<p> 
  Para cada ngulo agudo :B, essas trs razes, que s dependem da medida do ngulo :B, vo agora receber um nome. 

Razes trigonomtricas 

  Sendo dado um ngulo agudo :B, vamos construir um tringulo {a{b{c retngulo em A e que tenha :B como um de seus ngulos. 
<R+>
<F->
 Chama-se seno de um ngulo agudo a razo entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa: 
sen :B=b~a (sen :B l-se: "seno de :B") 
 Chama-se cosseno de um ngulo agudo a razo entre o cateto adjacente ao ngulo e a hipotenusa: 
cos :B=c~a (cos :B l-se: "cosseno de :B")
 Chama-se tangente de um ngulo agudo a razo entre o cateto oposto ao ngulo e o cateto adjacente ao ngulo: 
tg :B=b~c (tg :B l-se: "tangente de :B")
<F+>
<R->
<144>
<p>
  O seno, o cosseno e a tangente de um ngulo so chamados razes trigonomtricas desse 
ngulo. 
  Veja alguns exemplos: 
  Considerando o exemplo inicial com o tringulo _`[no representado_`] formado pela escada, pelo muro e pelo cho, temos: 
<R+>
<F->
sen :B=b~a=2,00~2,80=
  =0,71.429 
cos :B=c~a=1,96~2,80=
  =0,70.000 
tg :B=b~c=2,00~1,96=
  =1,02.041 
<F+>
<R->
  Agora vamos considerar a escada _`[no representada_`] apoiada no muro, conforme a segunda posio apresentada: 
<R+>
<F->
sen :B=b~a=2,00~2,40=
  =0,83.333 
cos :B=c~a=1,33~2,40=
  =0,55.417 
tg :B=b~c=2,00~1,33=
  =1,50.376 
<F+>
<R->
<p>
  No tringulo a seguir, temos: 

<F->
               C
               *w 
             *a _
           *a   _        
         *a     _      
    5 *a       _ 3
     *a         _           
   *a           _          
 *a           _-_         
---------------#
B      4     A 
<F+>

<R+>
<F->
sen :B= cateto oposto a :B~ 
  ~ hipotenusa ={a{c~{b{c=
  =3~5=0,6
cos :B= cateto adjacente a 
  :B~ hipotenusa ={a{b~{b{c=
  =4~5=0,8
tg :B= cateto oposto ~ cateto 
  adjacente ={a{c~{a{b=3~4=
  =0,75
<F+>
<R->
  No exemplo anterior, o ngulo :C tambm  agudo. Calculemos as razes trigonomtricas de :C.
<p>
<F->
sen :C={a{b~{b{c=4~5=0,80
cos :C={a{c~{b{c=3~5=0,60
tg :C={a{b~{a{c=4~3=1,33
<F+>
<145>

Relaes entre as razes 
  trigonomtricas 

  As razes trigonomtricas de um mesmo ngulo tm relaes entre si. Veja: 

<F->
  C
  v
  l
  l 
  l  
  l      
  l    
b l      a
  l      
  l       
  l        
  l         
  l_-   :B   
  v-----------u 
  A    c    B
<F+>
<p>
 sen :B=b~a, ento b=a sen :B 
 cos :B=c~a, ento c=a cos :B  
  De acordo com o teorema de 
 Pitgoras, temos:  
 b2+c2=a2 
  :> `(a sen :B`)2+
   +`(a cos :B`)2=a2 
  :> a2 sen 2:B+
  +a2 cos 2:B=a2
  Portanto: 

  sen 2:B+ cos 2:B=1 

  Se calcularmos o quociente sen :B~ cos :B, teremos: 
 sen :B~ cos :B=b~a~c~a=
  =b~a.a~c=b~c= tg :B 
  Portanto: 

tg :B= sen :B~ cos :B
<p>
Exerccios
 
<R+>
139. Determine sen *x* nos casos: 
<R->
<F->
a)
               *w
             *a _
           *a   _
         *a     _
    4 *a       _ 2
     *a         _
   *a           _
 *a x         _-_
---------------#

b)
   v
   l
   l 
   l  
   l    15
   l    
   l     
   l      
   l_-   x 
   v--------u
       12
<p>
c)
          ?
         _-^?     
             ^?    
               ^? 
   6            ^? y-2
                   ^?    
                     ^?   
                     x ^? 
  -----------------------u-
             y         
<F+>

<R+>
140. Determine cos *x* nos casos: 
<R->
a)
<F->
   v
   l
   l 
   l  
   l   
   l     8
   l     
   l      
   l       
   l_-    x 
   v---------u
        6
<p>
b)
           -
          i ^?
         _-  ^?     
               ^?    
                 ^? 
   6              ^? 63
                     ^?    
                       ^?   
    x                    ^? 
  -------------------------u-

c)
               *w
             *a _
           *a   _
         *a  x  _
   12 *a       _ 
     *a         _
   *a           _
 *a           _-_
---------------#
       10
<F+>
<p>
<R+>
141. Obtenha tg *x* nos casos: 
<R->
a)
<F->
    v
    l
    l 
    l  
    l   
12 l    
    l     
    l      
    l_-   x 
    v--------u
       15

b)
               *w
             *a _
           *a x _
         *a     _
   12 *a       _ 
     *a         _
   *a           _
 *a           _-_
---------------#
      63
<p>
c)
          ?
         _-^?     
             ^?    
               ^? 
  15            ^? 
                   ^?    
                     ^?   
    x                  ^? 
  -----------------------u-
             25
<F+>

<146>
<R+>
142. Calcule sen :B, cos :B e tg :B para o tringulo a seguir. 

<F->
   C
   r?
   l ^? 
   l   ^? 
   l     ^?
5 l       ^? 13
   l         ^?
   l           ^?
   l_-           ^?
   v---------------u-
   A     12     B
<p>
143. Para o mesmo tringulo do exerccio anterior, calcule: sen :C, cos :C e tg :C.  
144. Calcule a medida da hipotenusa ^c?{r{s* do tringulo retngulo da figura. Em seguida, determine sen :R, cos :R e tg :S.  

          T
          ?
         _-^?     
             ^?    
               ^? 
  16            ^? 12
                   ^?    
                     ^?   
                       ^? 
  -----------------------u-
  R                     S
<p>
145. Na figura a seguir, determine *x* e, em seguida, calcule sen :B, tg :B e sen :C.  

C     x     A
ccccccccccccc
           _-_
             _
             _
             _
             _
             _
   17       _ 15
             _
             _
             _
             _
             _
             _
              
             B
<p>
146. Num tringulo {a{b{c, retngulo em A, de hipotenusa 15 cm, sabe-se que sen :B=4~5. Determine: 

  A   y  B
  pccccccccm
  l_-     
  l      
  l     
x l     15
  l   
  l  
  l 
  l
  p
  C

a) o cateto {a{c=x; 
b) o outro cateto; 
c) cos :B e tg :B;   
d) sen :C, cos :C e tg :C.  
<p>
147. Um tringulo {r{s{t, retngulo em R, tem {r{s=10 cm e tg :S=5~2. Determine {r{t=x.  

T
v
l
l 
l  
l   
l    
l     
l      
l_-     
v--------u
R      S

148. Num tringulo {a{b{c, retngulo em A, de hipotenusa 25 cm, sabe-se que sen :C=3~5. Determine: 
a) o cateto {a{b;  
b) o outro cateto;  
c) cos :C e tg :C; 
d) sen :B, cos :B e tg :B.
<F+>
<R->
<p>
<147>
Seno, cosseno e tangente de 45 

  Na figura inicial temos um quadrado de lado *l*. Ao traarmos sua diagonal (que mede l2), indicamos um tringulo retngulo, como mostra a segunda figura. Observe que os ngulos agudos valem 45. 

<F->
 !:::::::::
 l         _
 l         _ 
 l         _ l
 l         _
 l       _-_
 h:::::::::j
      l

 !:::::::::
 l       ^_
 ll2^  _ 
 l   ^45_ l
 l ^      _
 l^45 _-_
 h:::::::::j
      l
<p>
<R+>
<F->
sen 45=l~l2 :> sen 45=
  =1~2 :> sen 45=2~2 
  ou sen 45=0,707... 
cos 45=l~l2 :> cos 45=
  =1~2 :> cos 45=2~2 
  ou cos 45=0,707...
tg 45=l~l :> tg 45=1  
<F+>
<R->

Seno, cosseno e tangente de 30 
  e de 60 

  Na figura inicial temos um tringulo equiltero de lado *l* cujos trs ngulos so iguais a 60. Ao traarmos sua altura (que mede l3~2), indicamos um tringulo retngulo, como mostra a segunda figura _`[no representada_`].
<F->
<p>
        
         
           
           
  l          l
             
              
               
----------------u
        l
<F+>
  
  Para o ngulo de 30, temos: 
<F->
sen 30=?l~2*~l :> sen 30=
  =1~2 ou sen 30=0,5
cos 30=?l3~2*~l :> cos 
  30=3~2 ou cos 30=
  =0,866... 
tg 30=?l~2*~?l3~2*=
  =1~3 :> tg 30=3~3 
  ou tg 30=0,577... 
<F+>
<148>
  Para o ngulo de 60, temos: 
<F->
sen 60=?l3~2*~l :> sen 
  60=3~2 ou sen 60=
  =0,866...
<p>
cos 60=?l~2*~l :> cos 60=
  =1~2 ou cos 60=0,5
tg 60=?l3~2*~l~2 :> tg 
  60=3 ou tg 60=1,732... 
<F+>
  Agora podemos construir uma tabela com o seno, o cosseno e a tangente de alguns dos principais ngulos: 
<F->
        
      !::::::::!::::::::!:::::::::
      l sen x  l cos x  l  tg x     
::::::r::::::::r::::::::r:::::::::
 30 l#,b     l3~2l3~3    
::::::r::::::::r::::::::r:::::::::
 45 l2~2l2~2l1      
::::::r::::::::r::::::::r:::::::::
 60 l3~2l#,b     l3      
::::::h::::::::h::::::::h:::::::::
<F+>

Seno, cosseno e tangente de 
  outros ngulos 

  Quando queremos obter uma das razes trigonomtricas de um ngulo no especial, como 37, por 
exemplo, como fazemos? Teoricamente podemos fazer assim: 
<p>
<R+>
<F->
 com a ajuda de um transferidor, construmos um ngulo de 37 _`[no representado_`]; 
 construmos um tringulo retngulo que tenha 37 de ngulo agudo: 
<F+>
<R->

<F->
          C
          ?
         _-^?     
             ^?    
               ^? 
                 ^? 
                   ^?    
                     ^?   
    37               ^? 
  -----------------------u-
  A                     B
<F+>

<149>
<R+>
<F->
 medimos os lados desse tringulo:

  A              B
  o::o::o::o::o 
  0  1  2  3  4

distncia ^c?{a{b*=4 cm 
<p>
 calculamos a razo trigonomtrica que queremos.
<F+>
<R->
  Na prtica, consultamos tabelas j existentes e que do as razes trigonomtricas dos ngulos de 0 a 90, de grau em grau. Ou, ento, utilizamos calculadoras que fornecem as razes trigonomtricas. 

Aplicaes das razes 
  trigonomtricas 

  Conhecendo os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ngulo agudo, podemos efetuar vrios clculos em geometria, muitos deles envolvendo situaes do cotidiano. 

O cabo de segurana 

  Por segurana, vai ser necessrio ligar a ponta de um poste de 
<p>
12 m de altura a um gancho no cho. Quando esticado, o cabo dever fazer ngulo de 45 com o cho. 
  Qual  o comprimento do cabo? A que distncia do poste est o gancho? 

<F->
    v C
    l
    l 
    l  
    l   
    l    
    l      x
12 l      
    l       
    l        
    l         
    l_-   45  B
 ---v-----------u--- 
    A    d         
<F+>

  Temos: 
 sen :B={a{c~{b{c=12~x e 
  tg :B={a{c~{a{b=12~d 
<p>
  Como :B=45 e sen 45=
 =2~2 e tg 45=1, vem: 
2~2=12~x e, ento, 
  x=?2.12*~2=122=
  =12.`(1,41`) :> x=16,92 
1=12~d e, ento, d=12 
  O comprimento do cabo  16,92 m, e a distncia do gancho ao poste  12 m. 
<150> 

A altura da pipa 

  Jorginho estava empinando pipa. Quando ele soltou os 50 m de linha, o vento estava to forte que a linha ficou inclinada 60 em relao ao cho. 
  Nesse momento, qual era a altura da pipa? 
<p>
<F->
                 C
                 #
                _
                _
                _
     50 m      _
                _
                _ x
                _
                _
         60 _-_
       ---------#
        B       A
<F+>

  Temos: 
 sen :B={a{c~{b{c=x~50 
  Como 3^=1,73, :B=60 e sen 60=3~2, vem: 
 3~2=x~50 e, ento 
  x=?503*~2=253^=25.
  .(1,73)=43,25 :> x=43,25 
  A altura da pipa era 43,25 m. 

O comprimento da sombra 

  Qual  o comprimento da sombra de uma rvore de 5 m de altura 
<p>
quando o sol est 30 acima do horizonte

<F->
                  C
                  *w   _
                *a _   _
              *a   _   _
            *a     _   _
          *a       _   _  5 m
        *a         _   _
      *a           _   _
    *a 30      _-_   _
------------------#---- 
B :::::::::::::::o A
          S      
<F+>

  Temos: 
 tg :B={a{c~{a{b=5~s 
  Como :B=30, tg :B= tg 
 30=3~3=0,577, ento: 
 0,577=5~s e, da, s=5~0,577=
  =8,67 :> s=8,67 
  O comprimento da sombra  
 8,67 m. 
<p>
<151>
Exerccios

<R+>
149. Calcule o valor de *x* em cada item. 
<R->
<F->
a)
                *w
              *a _
            *a   _
          *a     _
    10 *a       _ x
      *a         _
    *a           _
  *a 30      _-_
----------------#

b)
              *w
            *a _
          *a   _
      x *a     _ 
      *a       _
    *a         _
  *a 30    _-_
--------------#
       12
<p>
c)
              *w
            *a _
          *a   _
        *a     _ 
      *a       _ x
    *a         _
  *a 30    _-_
--------------#
     53

d)
                #
               _
               _
               _
         6    _
               _
               _  
               _
               _
               _
               _
      45   _-_
    -----------#
          x      
<p>
e)
          #?
         _-^?     
             ^?    
    5         ^? 53
                 ^? 
                   ^?    
     x               ^? 
   --------------------u-

f)
        x
cccccccccccccc
            _-_
              _
              _
              _
              _
              _
52        _  
              _
          45_
              _
              _
              _
              _
              _
               
<p>
g)
    v
    l
    l 
    l  
    l   
    l    
    l      123
    l      
    l       
    l        
    l_-     x 
    v----------u
        18

h)
    v
    l
    l 
    l  
 5 l    
    l    
    l     
    l      
    l_-   x 
    v--------u
        5
<p>
i)
          #?
         _-^?     
             ^?    
     x         ^? 23
                 ^? 
                   ^?    
                     ^?   
    60               ^? 
  -----------------------u-
<F+>

<R+>
<F->
150. Determine *x* nos casos 
  _`[no representados_`]. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

151. Um tringulo retngulo {d{e{f, com :D=90, tem {d{e=6 cm, {d{f=63 cm, {e{f=12 cm. Determine os valores de :E e de :F.
152. A base maior de um trapzio issceles mede 100 cm, e a base menor, 60 cm. Sendo 60 a 
<p>
  medida de cada um de seus ngulos agudos, determine a altura e o permetro do trapzio.  

153. Determine os valores de *x* e *y* nos casos _`[no representados_`]:
a) retngulo; 
b) paralelogramo;
c) paralelogramo; 
d) losango; 
e) trapzio retngulo; 
f) trapzio issceles.

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<152>

154. Os lados ^c?{r{s* e ^c?{r{t* de um tringulo {r{s{t retngulo em :R medem 83 cm e 8 cm. Determine os ngulos :S e :T do tringulo.  
<p>
155. Determine a medida da base de um tringulo issceles cujos lados iguais medem 6 cm e formam um ngulo de 120.  
156. Um ponto de um lado de um ngulo de 60 dista 16 m do vrtice do ngulo. Quanto ele dista do outro lado do ngulo?  
157. Para determinar a largura de um rio, marcou-se a distncia entre dois pontos A e B numa margem: {a{b=100 m. Numa perpendicular s margens pelo ponto A visou-se um ponto C na margem oposta e se obteve o ngulo :?{a{b{c*=30. Calcule a largura do rio.
<p>
                C
                *'
              *a '
            *a   '
          *a     ' 
        *a       ' 
      *a         '
    *a 30    _-'
----------------u---
B :::::::::::::o A 
       100 m 

158. Uma pipa  presa a um fio esticado que forma um ngulo de 45 com o solo. O comprimento do fio  80 m. Determine a altura da pipa em relao ao solo.  
<p>
                .
               '
               '
               '
      80 m    '
               '
               ' x
               '
               '
               '
               '
      45   _-'
---------------u----

159. Uma escada est encostada na parte superior de um prdio de 54 m de altura e forma com o solo um ngulo de 60. Determine o comprimento da escada.  
160. A sombra de um poste vertical _`[no representado_`], projetada pelo sol sobre um cho plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um basto 
<p>
  vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual  a altura do poste?  

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

161. Um prdio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que uma baliza de 1 m projeta uma sombra de 40 cm. Se cada andar desse prdio tem 3 m de altura, qual  o nmero de andares?  
162. Um observador v um edifcio _`[no representado_`], construdo em terreno plano, sob um ngulo de 60. Se ele se afastar do edifcio mais 30 m,
  passar a v-lo sob ngulo de 45. Calcule a altura do edifcio. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<153>
<p>
163. Um avio est a 7.000 m de altura e inicia a aterrissagem, em aeroporto ao nvel do mar. O ngulo de descida  6. A que distncia da pista est o avio? Qual  a distncia que o avio vai percorrer? Dados: sen 6=0,10.453, cos 6=0,99.452 e tg 6=0,10.510. 
164. Uma escada de bombeiro pode ser estendida at um comprimento mximo de 25 m, formando um ngulo de 70 com a base, que est apoiada sobre um caminho, a 2 m do solo. Qual  a altura mxima que a escada atinge? Dados: sen 70=0,940, cos 70=0,342 e tg 70=2,47. 
<p>
Matemtica em notcia
 
50% dos brasileiros no fazem exerccio 

Caminhada/corrida  esporte 
  predileto, indica pesquisa 
<F+>
<R->

  Nem atltica como a da Finlndia nem "preguiosa" como a norte-americana. 
  Metade da populao brasileira diz praticar exerccios fsicos, de acordo com uma pesquisa feita para a Sociedade Brasileira de Cardiologia, com 2.012 pessoas entre 18 e 70 anos. 
  Mas o resultado no  animador: est longe da Finlndia, onde 92% dos moradores se exercitam, e perto dos norte-americanos, pois 60% deles so sedentrios. 
  [...]
<p>
<R+>
<F->
_`[{grfico de setores "Marcha lenta: prtica de exerccio entre os brasileiros" dividindo em trs partes, contedo a seguir_`]
50% praticam atividade fsica;
49% no praticam atividade fsica;
1% no respondeu;
Dos 50% que praticam:
  20% fazem todos os dias;
  3% 5 a 6 dias por semana;
  12% 3 a 4 dias por semana;
  13% 1 a 2 dias por semana;
  2% a cada 15 dias ou menos.
<F+>
<R->

<R+>
_`[{dois grficos de setores "diviso por sexo", contedo a seguir_`]
<R->
 Mulheres:
  57% praticam;
  41% no praticam;
  2% no responderam.
 Homens:
  60% praticam;
  40% no praticam;
  86% acreditam que o sedentarismo aumenta o risco de infarto.
<p>
 Quem no pratica, por idade:
  18 a 25 anos :> 39%;
  25 a 34 anos :> 50%;
  35 a 44 anos :> 50%;
  45 a 59 anos :> 53%;
  60 a 70 anos :> 57%.
 Quem no pratica, por classe 
  econmica:
  {a{b (acima de R$1.750) 
  :> 37%;
  C (entre R$1.750 e 
  R$1.050) :> 49%;
  {d{e (abaixo de R$1.050) 
  :> 55%.
<154>

(*Metro*, 10/9/2007.)

<R+>
<F->
  Responda: 
a) Em que continente e regio est situada a Finlndia?  
b) Quanto por cento da populao norte-americana pratica exerccios fsicos?  
<p>
c) Classifique em verdadeiro ou falso: 
I. Entre os brasileiros de 18 a 44 anos, mais da metade  praticante de exerccios fsicos. 
II. Entre as mulheres brasileiras adultas, mais da metade so sedentrias.  
d) Represente num grfico de setores os brasileiros praticantes de exerccios fsicos, classificados pela frequncia com que praticam os exerccios. 
<F+>
<R->

Teste seu conhecimento

<R+>
1. (Unip-SP) As retas *r*, *s* e *t* so duas a duas paralelas, e o tringulo {e{f{g  equiltero. 
<R->
<F->
<p>
        A     D
 <:::::::i:::::e:::::::::> r
        i       e
    B i         e E
 <::::i:::::::::::e::::::> s 
     i            ie
    i            i  e
 <:i::::::::::::i::::e:::> t
  C           F    G     
<F+>

<R+>
<F->
  Se ^c?{a{b*  congruente a ^c?{b{c* e a medida do segmento ^c?{d{e*  5 cm, ento a medida de ^c?{f{g* : 
a) 7 cm  
b) 3 cm  
c) 5 cm 
d) 2,5 cm
e) 10 cm

2. Num tringulo {a{b{c, {a{b=15 m, {a{c=20 m. Sabendo-se que {a{m=6 m (sobre o lado ^c?{a{b*), o valor do segmento ^c?{a{n* sobre o lado ^c?{a{c*, de modo que o 
<p>
  segmento ^c?{m{n* seja paralelo ao lado ^c?{b{c*, :
a) 2  
b) 3  
c) 5
d) 8

3. Na figura a seguir, ^c?{b{a*_l^c?{c{d*.  
<F+>
<R->

<F->
              F
              #?
               ^?     
                 ^?    
    24 cm         ^? 32 cm
               x     ^? 
      B --------------u? A
                         ^?    
18 cm                     ^? y
                             ^? 
     --------------------------u-
     C         70 cm         D
<F+>
<R+>

<F->
  Ento *x* e *y* valem respectivamente: 
a) 25 cm e 13 cm
b) 4~3 cm e 16~3 cm
<p>
c) 20 cm e 12 cm 
d) 40 cm e 24 cm 

4. Na figura a seguir, os segmentos ^c?{a{b* e ^c?c{d* so paralelos e {a{b=136, {c{e=75 e {c{d=50.  
<F+>
<R->

<F->
   B
   _?
   _ ^? 
   _   ^? D
   _     ^? 
   _      _^? 
   _      _  ^?
   _      _    ^?
   _      _      ^?
   _------#--------u- E
   A     C
<F+>

  Quanto mede o segmento 
  ^c?{a{e*?
<F->
a) 136  
b) 306  
c) 204
d) 163
<F+>
<p>
<R+>
5. Na figura a seguir {a{b=15, {a{d=12, {c{d=4, e o segmento ^c?{e{c*  paralelo ao segmento  ^c?{a{b*. 
<R->

<F->
  B
  v
  l
  l 
  l  E
  l    
  l   l
  l   l  
  l   l  
  l   l   
  l   l    
  l   l     
  l   l      
  v---v-------u D
  A  C      
<F+>

  Qual  a medida do segmento  
  ^c?{e{c*? 
<F->
<R+>
a) 2 
b) 3   
c) 4 
d) 5
<p>
6. Os lados de um tringulo medem, respectivamente, 7 cm, 9 cm e 14 cm. Qual  o permetro do tringulo semelhante ao dado cujo lado maior  21 cm? 
a) 45 cm 
b) 55 cm 
c) 60 cm 
d) 75 cm 

7. As bases de um trapzio medem 8 cm e 12 cm, respectivamente, e a altura, 4 cm. A que distncia da base menor fica o ponto de encontro das retas-suporte dos lados no paralelos? 
a) 8 cm 
b) 12 cm 
c) 16 cm 
d) 4 cm 
<155>

8. Na figura tem-se o trapzio issceles {a{b{c{d no qual as bases medem 15 cm e 27 cm. 
<R->
<F+>
<F->
<p>
         A  D
         ---.
             
       -------u
               
     -----------u
                 
   ---------------u
                   
 -------------------u
 B                 C
<F+>

<R+>
<F->
  Os lados ^c?{a{b* e ^c?{c{d* foram divididos em quatro partes iguais, e, pelos pontos de diviso, foram traados trs segmentos paralelos s bases. A soma das medidas dos trs segmentos traados , em centmetros: 
a) 52 
b) 58  
c) 59 
d) 61 
e) 63 
<p>
9. (Escola Tcnica 
  Federal-RJ) Sejam 20 cm e 30 cm, respectivamente, os permetros de dois polgonos semelhantes e *x* e *y* dois de seus lados homlogos. Se x=6 cm, o valor de *y* ser:
a) 3 cm  
b) 4 cm 
c) 9 cm 
d) 10,5 cm
e) 5,2 cm 

_`[{para os exerccios 10 a 12, pea orientao ao professor_`]

10. Observe a figura _`[no representada_`]. Se nos tringulos retngulos da figura *m* `(^c?{a{b*`)=1, *m* `(^c?{b{c*`)=2 e *m* `(^c?{a{d*`)=3, ento ^c?{c{d* mede: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
<p>
11. (Fuvest-SP) Em um tringulo retngulo {o{a{b _`[no representado_`], retngulo em O, com {o{a=a e {o{b=b so dados os pontos P em ^c?{o{a* e Q em ^c?{o{b* de tal maneira que {a{p={p{q={q{b=x. Nessas condies, o valor de *x* : 
a) `(ab`)-a-b 
b) a+b-`(2ab`) 
c) `(a2+b2`) 
d) a+b+`(2ab`) 
e) `(ab`)+a+b 

12. Observe a figura _`[no representada_`]. Nesse tringulo, o valor de *x* : 
a) 14   
b) 16 
c) 18
d) 20 
e) 22

13. Os dois maiores lados de um tringulo retngulo medem 12 dm  
<p>
  e 13 dm. O permetro desse tringulo :
a) 36 dm 
b) 35 dm  
c) 34 dm 
d) 33 dm 
e) 30 dm 

14. (Mackenzie-SP) Num tringulo retngulo, um cateto  o dobro do outro. Ento a razo entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa : 
a) 2
b) 3
c) 4 
d) 3~2 
e) 5

15. Uma escada de 25 dm de comprimento se apoia num muro do qual seu p dista 7 dm. Se o 
<p>
  p da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada? 
a) 4 dm 
b) 5 dm 
c) 6 dm 
d) 7 dm 
e) 8 dm 

16. (UF-GO) O permetro de um tringulo issceles de 3 cm de altura  18 cm. Os lados desse tringulo em cm so: 
a) 7, 7, 4 
b) 5, 5, 8 
c) 6, 6, 6 
d) 4, 4, 10 
e) 3, 3, 12 

17. Em um tringulo equiltero, a altura mede 12 cm. Nessas condies, o lado do tringulo mede:
a) 12~3 cm  
b) 83 cm 
<p>
c) 363 cm 
d) 243 cm
e) 93 cm 

<156>
18. (Fund. Carlos 
  Chagas-SP) Um quadrado e um tringulo tm permetros iguais. Se a diagonal do quadrado mede 92 m, ento a altura do tringulo, em metros :
a) 3~2 
b) 3  
c) 23 
d) 43
e) 63

19. Calcule a soma dos catetos do tringulo retngulo da figura, sabendo que {a{b=10 e cos x=3~5.
<F+>
<R->
<p>
<F->
      B
      _?
      _ ^? 
      _   ^?
      _     ^? 
6 cm _       ^? 10
      _         ^?
      _           ^?
      __-        ^a ^?
      _---------------u-
      C             A
<F+>

  A resposta correta : 
<R+>
<F->
a) 6  
b) 8 
c) 14 
d) 2
e) 16 
<p>
20. Na figura a seguir, o seno do ngulo ^a  2~3.

   pccccccccccccm
   l_-      ^a 
   l          
   l         
   l        
   l       
   l      
x  l      12
   l    
   l     
   l  
   l 
   l
   p

  Ento o valor de *x* : 
a) 6 
b) 8  
c) 9 
d) 7 
e) 10
<p>
21. Verifique a figura: 

    C
    _?
    _ ^? 
    _   ^?
    _     ^? 
18 _       ^? a
    _         ^?
    _           ^?
    __-      30 ^?
    _---------------u-
    A      c      B

  O valor de *a* no tringulo {a{b{c :
a) 32  
b) 36 
c) 30 
d) 33
e) 34 

22. A base de um canteiro de forma retangular tem 50 m de comprimento. Sabe-se que a diagonal desse retngulo forma com  
<p>
  a base um ngulo cuja medida  de 60. Quanto mede a outra dimenso desse retngulo? 
a) 17,32 m 
b) 8,66 m 
c) 173,2 m 
d) 866 m 
e) 86,6 m 

23. (ESPM-SP) Num tringulo issceles, a base tem 8 cm e o ngulo oposto  base mede 120. Cada um dos outros dois lados do tringulo mede:
a) 3 cm 
b) 25 cm 
c) 45 cm 
d) ?43*~3 cm 
e) ?83*~3 cm

24. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 4 m do solo, forma, com essa parede, um ngulo de 60. O comprimento da escada, em metros, :
a) 2 
b) 4
<p>
c) 8 
d) 83
e) 16 

25. Um avio levanta voo sob um ngulo de 30. 
        
             *l
           *a l
         *a   l
 8 km *a     l x
     *a       l 
   *a         l
 *a 30    _-l
-------------l

  Depois de percorrer 8 km, o avio se encontra a uma altura de:
a) 2 km  
b) 3 km 
c) 4 km 
d) 5 km
e) 6 km 
<p>
26. O tringulo de lados 8,15 cm e 17 cm tem: 
a) um ngulo reto; 
b) dois ngulos retos; 
c) trs ngulos agudos; 
d) um ngulo obtuso; 
e) dois ngulos obtusos. 
<F+>
<R->

               oooooooooooo
<p>
<R+>
<157>
Unidade 5 -- Estatstica e 
  probabilidade
<158>

Captulo 15- Noes de 
  estatstica 
<R->
 
Os irmos dos alunos 

  Foi feita uma pesquisa sobre o nmero de irmos de cada aluno, em uma classe de 25 alunos. O resultado foi o seguinte: h 2 alunos que no tm irmos, 8 que tm 1 irmo cada um, 11 que tm 2 irmos cada um, 2 que tm 3 irmos cada um, 1 com 4 irmos e 1 com 5 irmos. 
  Vamos organizar esses dados numa tabela: 

<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l n.o de _ frequncia_ frequncia_
l irmos _           _relativa %_
r::::::::w:::::::::::w:::::::::::w
l 0     _ 2        _ 8        _
l 1     _ 8        _ 32       _
l 2     _ 11       _ 44       _
l 3     _ 2        _ 8        _
l 4     _ 1        _ 4        _
l 5     _ 1        _ 4        _
l soma   _ 25       _ 100      _
h::::::::j:::::::::::j:::::::::::j
<F+>

  Vamos ver agora como lidar com esses dados e tambm outras formas de represent-los. 

Noes de estatstica 

   importante conhecer alguns conceitos bsicos de estatstica para trabalhar com anlise de dados. 
<p>
Distribuio de frequncias 

  A tabela anterior  denominada distribuio de frequncias. Ela resultou de uma pesquisa sobre a varivel nmero de irmos na populao formada pelos 25 alunos da classe. 
  Denominamos frequncia de um valor da varivel o nmero de vezes que esse valor  observado na populao. H tambm a chamada frequncia relativa, que  obtida dividindo-se a frequncia propriamente dita pela quantidade de elementos da populao. A frequncia relativa costuma ser apresentada na forma de taxa percentual. 
  No estudo da estatstica, aprendemos a organizar dados resumindo-os em tabelas e grficos que facilitem a sua anlise. 
<159>

Populao e varivel 

  O termo populao refere-se ao conjunto dos elementos dos quais 
<p>
desejamos pesquisar alguma caracterstica. Essa caracterstica deve variar de elemento para elemento da populao, sendo, portanto, a varivel a ser estudada. Assim, por exemplo, no  interessante fazer estatstica a respeito do grau de instruo dos alunos do 9 ano, uma vez que todos tm o mesmo grau. Mas, nessa populao determinada, podemos considerar muitas outras variveis como: nmero de irmos, altura, peso, idade, nota de uma prova de Matemtica, esporte preferido, ms do nascimento, tempo gasto numa corrida de 100 metros, nmero de acertos em dez lances livres de basquete, etc. 

Variveis discretas 

  Uma varivel que associa a cada elemento da populao um nmero resultante de contagem  chamada 
<p>
de varivel discreta. As variveis discretas tm valores inteiros. So variveis discretas, por exemplo, o nmero de irmos de cada aluno de uma classe, o nmero de telefonemas recebidos por uma pessoa em cada dia de um ms, o nmero de acidentes que ocorrem por ms numa rodovia. 

Representao grfica 

  Podemos representar a distribuio de frequncias do nmero de irmos num grfico de barras ou de colunas ou de setores. Esse tipo de representao por grficos permite uma melhor visualizao dos dados a serem avaliados. 
  No grfico de colunas ou de barras, desenhamos todas elas com a mesma largura e com o comprimento proporcional  frequncia. 
<p>
Grfico de colunas 

<F->
          44%
            
            
            
     32%  
         
         
          
 8%     8%       
         4% 4%
--------------
  0   1   2   3   4   5 

Grfico de barras 

   l
0 l 8%
1 l 32%
2 l 44%
3 l 8%
4 l 4%
5 l 4%
   l
<F+>
<p>
  No caso do grfico de setores, a rea de cada setor  proporcional  frequncia. Para determinar cada setor, calculamos o ngulo central aplicando a frequncia relativa ao total de 360. 
<160>
  Veja a tabela: 

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: N.o de irmos;
2 coluna: Frequncia relativa;
3 coluna: ngulo central.
<F+>
<R->
<p>
<F->
::::::::::::::::::::::::::::::::::
 1 _ 2   _ 3  
:::::w:::::::w::::::::::::::::::::                    
 0  _ 0,08 _ 0,08360=28,8 
:::::w:::::::w::::::::::::::::::::
 1  _ 0,32 _ 0,32360=115,2
:::::w:::::::w::::::::::::::::::::
 2  _ 0,44 _ 0,44360=158,4   
:::::w:::::::w::::::::::::::::::::
 3  _ 0,08 _ 0,08360=28,8 
:::::w:::::::w::::::::::::::::::::
 4  _ 0,04 _ 0,04360=14,4 
:::::w:::::::w::::::::::::::::::::
 5  _ 0,04 _ 0,04360=14,4 
:::::j:::::::j::::::::::::::::::::
<F+>
<p>
<F->
<R+>
<F->
_`[{grfico de setores adaptado em forma de tabela, em duas colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: N.o de irmos;
2 coluna: Cores.
<F+>
<R->

 !::::::::::::::::
 l 1   _ 2     _
 r:::::::w:::::::::w
 l 0    _ rosa    _
 r:::::::w:::::::::w
 l 1    _ verde   _
 r:::::::w:::::::::w
 l 2    _ amarela _
 r:::::::w:::::::::w
 l 3    _ azul    _
 r:::::::w:::::::::w
 l 4    _ marrom  _
 r:::::::w:::::::::w
 l 5    _ cinza   _
 h:::::::j:::::::::j
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
1. Nos 20 primeiros jogos de um campeonato brasileiro, o Flamengo marcou as seguintes quantidades de gols: 
0, 1, 0, 4, 0, 0, 0, 1, 3, 2, 5, 3, 0, 3, 4, 5, 4, 0, 3, 0 
a) Agrupe esses dados numa tabela de frequncia. 
b) Faa o grfico de barras. 
c) Faa o grfico de setores. 

2. As notas dos 40 alunos de uma classe numa provinha de Matemtica que valia 4 pontos so: 3, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 4, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 4, 0, 2, 2, 4, 3, 0, 2, 2, 2, 3, 2, 2. 
a) Faa a tabela de distribuio de frequncias. 
<p>
b) Represente as notas num grfico de colunas. 
c) Represente as notas num grfico de setores. 

3. O nmero de erros na primeira pgina de um jornal dirio de grande circulao, em 200 dias pesquisados, est na tabela a seguir. 

 !:::::::::::::::::::::::::::
 l nmero de   _   nmero     _
 l   erros     _   de dias    _
 r:::::::::::::w::::::::::::::w
 l 0          _   170       _
 r:::::::::::::w::::::::::::::w
 l 1          _   18        _
 r:::::::::::::w::::::::::::::w
 l 2          _   10        _
 r:::::::::::::w::::::::::::::w
 l 3          _   2         _
 h:::::::::::::j::::::::::::::j

a) Refaa a tabela acrescentando as frequncias relativas. 
b) Represente os dados num grfico de setores. 
<p>
4. Na tabela a seguir esto os salrios dos 25 funcionrios de uma loja. 

 !:::::::::::::::::::::::
 l  salrio _ frequncia  _
 l  (R$) _             _
 r::::::::::w:::::::::::::w
 l 630,00  _ 3          _
 r::::::::::w:::::::::::::w
 l 840,00  _ 10         _
 r::::::::::w:::::::::::::w
 l 1.120,00_ 5          _
 r::::::::::w:::::::::::::w
 l 1.400,00_ 4          _
 r::::::::::w:::::::::::::w
 l 2.520,00_ 2          _
 r::::::::::w:::::::::::::w
 l 4.200,00_ 1          _
 h::::::::::j:::::::::::::j

a) Refaa a tabela acrescentando as frequncias relativas. 
b) Represente os salrios num grfico de colunas. 
<161>
<p>
5. O texto e o grfico a seguir foram publicados na revista *Veja*. Analise-os para responder s questes a seguir. 
<F+>
<R->

O pior pas para morar

  A revista inglesa *The 
 Economist* fez uma pesquisa *on-line* com seus leitores para descobrir em que pas eles no gostariam de morar. Mais de 1.700 pessoas, de diferentes partes do mundo, responderam  questo. Curiosamente, os Estados Unidos ficaram em quarto lugar,  frente de pases pauprrimos e conflagrados. Confira o resultado.

<R+>
<F->
_`[{grfico de setores "O pior pas para morar" adaptado em forma de tabela, em duas colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Pas;
2 coluna: Porcentagem `(%`).
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::
 l Pas             _  `(%`) _            
 !::::::::::::::::::::::::::
 l Coreia do Norte _ 14% _
 r:::::::::::::::::::w:::::::w
 l Iraque           _ 15% _
 r:::::::::::::::::::w:::::::w
 l Afeganisto      _ 19% _
 r:::::::::::::::::::w:::::::w
 l Estados Unidos  _ 7%  _ 
 r:::::::::::::::::::w:::::::w
 l Congo            _ 4%  _
 r:::::::::::::::::::w:::::::w
 l Israel           _ 3%  _
 r:::::::::::::::::::w:::::::w
 l Zimbbue         _ 3%  _
 r:::::::::::::::::::w:::::::w
 l Outros           _ 35% _
 h:::::::::::::::::::j:::::::j

(*Veja*, 17/3/2004.) 

a) Como foi feita a pesquisa e com quantas pessoas?  
b) Qual  o pas mais indesejado? Em que continente fica?   
<p>
c) Aproximadamente quantas das pessoas pesquisadas no gostariam de morar nos Estados Unidos? E no Iraque?  
d) O que  um pas pauprrimo? E conflagrado?  

6. Em um certo ano, dois estados do pas produzem os mesmos tipos de gros. Os grficos de setores _`[no representados_`] ilustram a relao entre a produo de cada tipo de gro e a produo total desses estados. 
a) Determine que porcentual da produo de gros do estado II representa, nesse ano, as produes de soja e de trigo, juntas.  
b) Pode-se dizer que, nesse ano, o estado I produziu uma quantidade total de milho maior que a do estado II? Por qu? 
<F+>
<R->
 
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
Variveis contnuas 

  Uma varivel que associa a cada elemento da populao um nmero resultante de uma mensurao (medio)  chamada de varivel contnua. As variveis contnuas tm valores no conjunto de nmeros reais. 
  So variveis contnuas, por exemplo, a estatura, o peso, o tempo de cada participante numa corrida de 100 metros. 
<162>

Distribuio de frequncias por 
  classes 

  No caso das variveis contnuas, as distribuies de frequncias costumam ser apresentadas por classes (ou intervalos) de valores da varivel. Vamos ver um exemplo. 
  A seguir esto as massas em gramas de 50 crianas nascidas numa maternidade de So Paulo:
<p>
<R+>
<F->
_`[{pulseiras de bebs nas cores rosa e azul, pesos a seguir_`]
rosa: 3.100, 3.040, 3.250, 2.550, 2.810, 2.830, 3.180, 2.780, 2.680, 3.360, 2.830, 3.250, 3.060, 3.280, 3.050, 2.920, 3.120, 2.940, 2.750, 3.090, 3.010, 2.800, 3.300.
azul: 2.970, 2.630, 2.470, 2.880, 3.080, 2.950, 3.050, 3.410, 2.850, 2.830, 3.280, 2.770, 2.840, 3.110, 2.690, 2.910, 2.870, 2.710, 2.940, 2.680, 2.680, 2.980, 2.940, 2.850, 2.970, 2.960, 2.780.
<F+>
<R->

  Para agrupar esses dados numa tabela, escolhemos a quantidade de intervalos e o tamanho de cada um deles, j que no podemos perder muita informao nem apresentar uma tabela muito extensa. Em geral usam-se de 5 a 12 classes, de preferncia do mesmo comprimento. Nesse exemplo, podemos notar que: 
<R+>
<p>
 o menor valor observado  2.470; e o maior, 3.410; 
 a diferena 3.410-2.470=940 representa a amplitude dos dados; 
 escolhendo 8 classes de comprimento 120, cobriremos todos os dados, uma vez que 8120=
  =960. 
<R->
  Assim, formamos a tabela a seguir, contando o nmero de crianas em cada intervalo de medida de massa. 

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Massa (gramas);
2 coluna: Frequncia (n.o de crianas);
3 coluna: Frequncia relativa `(%`).
<F+>
<R->
<p>
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l  1             _ 2 _ 3  _
 r::::::::::::::::::w:::::w::::::w
 l 2.460 _: 2.580 _ 2  _ 4   _
 l 2.580 _: 2.700 _ 5  _ 10  _
 l 2.700 _: 2.820 _ 7  _ 14  _
 l 2.820 _: 2.940 _ 10 _ 20  _
 l 2.940 _: 3.060 _ 12 _ 24  _
 l 3.060 _: 3.180 _ 6  _ 12  _
 l 3.180 _: 3.300 _ 5  _ 10  _
 l 3.300 _: 3.420 _ 3  _ 6   _
 l soma             _ 50 _ 100 _
 h::::::::::::::::::j:::::j::::::j

  O smbolo _: indica que o valor  esquerda  contado nesse intervalo, mas o da direita no. Por exemplo, o valor 3.300 no  contado na classe 3.180 _: 3.300, mas, sim, na seguinte, 3.300 _: 3.420. O ltimo intervalo pode incluir tambm o valor  direita. 
  As distribuies de frequncia por classes tambm podem ser feitas para variveis discretas quando a lista de valores  grande. 
<163>
<p>
Histograma 

  A representao grfica de uma distribuio de frequncia por classes  feita marcando-se numa reta os intervalos considerados e tomando-se cada um como base de um retngulo cuja rea seja proporcional  frequncia (ou frequncia relativa). Caso sejam intervalos de mesmo comprimento, basta tomar retngulos de alturas proporcionais s frequncias. Esse grfico  denominado histograma. 

<R+>
<F->
_`[{histograma "massa das crianas" adaptado, contedo a seguir_`]
massa de 2.460 a 2.580 :> 4%;
massa de 2.580 a 2.700 :> 10%;
massa de 2.700 a 2.820 :> 14%;
massa de 2.820 a 2.940 :> 20%;
massa de 2.940 a 3.060 :> 24%;
massa de 3.060 a 3.180 :> 12%;
massa de 3.180 a 3.300 :> 10%;
massa de 3.300 a 3.420 :> 6%.
<F+>
<R->
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
7. Selecionando um candidato para preencher uma vaga de gerente, um banco aplicou uma prova de 4 horas. Os 80 candidatos presentes gastaram os tempos indicados na tabela a seguir. 
  Faa o histograma, indicando as porcentagens de cada classe. 
<F+>
<R->

<F->
 !:::::::::::::::::::::::::::
 l tempo (min) _ n.o de     _
 l               _ candidatos _
 r:::::::::::::::w::::::::::::w
 l 100 _: 120  _ 12        _
 l 120 _: 140  _ 20        _
 l 140 _: 160  _ 16        _
 l 160 _: 180  _ 14        _  
 l 180 _: 200  _ 8         _  
 l 200 _: 220  _ 6         _  
 l 220 _: 240  _ 4         _  
 l soma          _ 80        _  
 h:::::::::::::::j::::::::::::j
<F+>
<p>
<R+>
8. Com relao ao exerccio anterior, veja a tabela a seguir, que mostra as notas obtidas pelos 80 candidatos: 
<R->

 !::::::::::::::::::::::::::
 l nota         _ n.o de     _
 l              _ candidatos _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l 0 _: 2,0   _ 14        _
 l 2,0 _: 4,0 _ 20        _
 l 4,0 _: 6,0 _ 20        _
 l 6,0 _: 8,0 _ 16        _
 l 8,0 _: 10  _ 10        _
 l soma         _ 80        _
 h::::::::::::::j::::::::::::j

<R+>
<F->
a) Faa o histograma, indicando as porcentagens de cada classe. 
b) Faa uma estimativa da porcentagem de candidatos que tenham tirado nota igual ou superior a 5,0.  
<164>
<p>
9. Esta  a lista das notas de 50 alunos em uma prova de Cincias: 
<F+>
<R->

 :::::::::::::::::::::::::::::
 6,7 _ 8,0 _ 4,5  _ 6,8 _ 5,8
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 8,3 _ 3,7 _ 8,2  _ 5,5 _ 6,5 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 8,3 _ 6,5 _ 10,0 _ 6,5 _ 8,1 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 4,0 _ 9,5 _ 9,5  _ 7,2 _ 3,5 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 7,5 _ 4,5 _ 4,5  _ 3,4 _ 9,6 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 4,4 _ 7,3 _ 5,1  _ 6,9 _ 8,5 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 6,0 _ 7,5 _ 10,0 _ 5,0 _ 7,1 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 5,9 _ 3,0 _ 6,5  _ 7,3 _ 5,2 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 5,4 _ 3,5 _ 8,1  _ 4,5 _ 6,5 
 :::::w::::::w:::::::w::::::w:::::
 6,5 _ 7,3 _ 6,0  _ 5,0 _ 7,4 
 :::::j::::::j:::::::j::::::j:::::
<p>
<R+>
<F->
a) Construa e preencha a tabela. 

_`[{tabela adaptada em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Nota;
2 coluna: Frequncia (n.o de alunos);
3 coluna: Frequncia relativa.
<F+>
<R->

 :::::::::::::::::::::::
 1          _ 2 _ 3
 :::::::::::::w:::::w:::::
 3,0 _: 4,0 _ ''' _ '''
 :::::::::::::w:::::w:::::
 4,0 _: 5,0 _ ''' _ '''
 :::::::::::::w:::::w:::::
 5,0 _: 6,0 _ ''' _ '''
 :::::::::::::j:::::j:::::

<R+>
<F->
b) Faa o histograma dessa distribuio. 
c) Estime, a partir do histograma, a porcentagem de alunos que tirou nota 7,5 ou mais. 
<p>
Variveis qualitativas 
<F+>
<R->

  As variveis que resultam em nmeros -- ditas discretas ou contnuas -- so as variveis quantitativas. Podemos tambm fazer estatsticas a respeito de variveis qualitativas, que classificam os elementos da populao segundo alguns tipos ou atributos, como, por exemplo, sexo, cor, cidade onde nasceu, opinio a respeito de um assunto, etc. 

Amostra 

  Muitas vezes, uma estatstica  feita colhendo-se dados apenas de uma parte da populao. Nesse caso, dizemos que foi escolhida uma amostra da populao. Portanto, amostra  um subconjunto da populao. 
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
10. Numa pesquisa de opinio a respeito de um filme sobre um fato histrico recente, foi perguntado: "O filme retratava fielmente o fato ocorrido?". 
  Uma amostra de 800 pessoas que assistiram ao filme apresentou os seguintes resultados: 
Sim :> 360; no :> 280; no sei 
  :> 160. 
  Represente, em dois tipos de grficos estatsticos, os dados obtidos. 
<165>
11. Uma pesquisa eleitoral, a respeito da inteno de voto nas eleies para prefeito de Vila Grande, apresentou os seguintes dados, numa amostra de 1.200 eleitores:
Celso Paulo :> 540; 
Luiza Elena :> 480; 
Em branco :> 60;
Indecisos :> 120.
<p>
  Faa a tabela de frequncias relativas e represente o resultado da pesquisa em um grfico de setores. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

12. A pesquisa Origem e Destino, do Metr, feita em parceria com CPTM, EMTU/SP, SPTrans e CET,  realizada a cada 10 anos. O objetivo  detalhar os tipos de deslocamentos na regio metropolitana de So Paulo. 

_`[{grfico de setores "Transporte coletivo em alta -- como as pessoas se locomovem" adaptado na forma de tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Ano;
2 coluna: Transporte coletivo;
3 coluna: Transporte individual.
<F+>
<R->
<p>
<F->
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l 1       _ 2     _ 3     _
 r:::::::::::w:::::::::w:::::::::w
 l1967      _ 68,1% _ 31,9% _
 l1977      _ 61%   _ 39%   _
 l1987      _ 56%   _ 44%   _
 l1997      _ 51,2% _ 48,8% _
 l2002 (*)_ 47,7% _ 52,3% _
 l2007      _ 55%   _ 45%   _
 h:::::::::::j:::::::::j:::::::::j
<F+>

<R+>
<F->
(*) Pesquisa realizada com um universo menor.

(*O Estado de S. Paulo*, 6/9/2008.)

a) Faa um grfico de colunas indicando, para cada ano, a porcentagem das pessoas que usam veculos coletivos (entre as que se locomovem com veculos motorizados). 
<p>
b) O hbito de usar transporte coletivo tem diminudo? 
  Veja outros dados sobre essa pesquisa na seo "Matemtica em notcia", pgina xx 182.
<F+>
<R->
 
Grfico de linhas 

  O grfico a seguir mostra a evoluo da populao humana na Terra. Em 1999 atingimos 6 bilhes de pessoas. O beb tomado pela ONU como smbolo do nmero 6 bilhes nasceu em Sarajevo, na Bsnia, no dia 12/10/1999. 

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas adaptado na forma de tabela em duas colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Ano;
2 coluna: Pessoas.
<F+>
<R->
<p>
<F->
 !:::::::::::::::::::
 l 1   _ 2        _
 r:::::::w::::::::::::_
 l 1804 _ 1 bilho  _
 l 1927 _ 2 bilhes _
 l 1960 _ 3 bilhes _
 l 1974 _ 4 bilhes _
 h:::::::j::::::::::::j
<F+>

Fonte: *Diviso de 
  Populao/ONU*. 

  Esse  um exemplo de grfico de linhas. 
  Os grficos de linhas so os preferidos quando queremos mostrar a variao (crescimento e decrscimo) de dados observados ao longo do tempo. 
<166>
<p>
Exerccios

<R+>
13. A ONU faz previses sobre o crescimento da populao mundial. Observe a tabela elaborada com dados de 2004. 
<R->

 !:::::::::::::::::::::
 l Populao   _ Ano  _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l 7,2 bilhes _ 2015 _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l 8,1 bilhes _ 2030 _
 r::::::::::::::w:::::::w
 l 9 bilhes   _ 2050 _
 h::::::::::::::j:::::::j

<R+>
<F->
a) No seu caderno, copie o grfico e prolongue-o usando os dados da tabela. 
b) Quantos anos se passaram para que a populao dobrasse, a partir de 1804? E a partir de 1960? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
14. Leia esta notcia do jornal *O Estado de S. Paulo*, de 11/7/2008: 
<F+>
<R->

  A inflao medida pelo ndice de Preos ao Consumidor Amplo (IPCA) acumulou no primeiro semestre deste ano a maior alta `(3,64%`) para o perodo em cinco anos. 

<R+>
Balano 

Sob presso dos alimentos
<R->

  IPCA acumulado no primeiro semestre atingiu o nvel mais alto desde 2003.

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas "evoluo do IPCA" adaptado na forma de tabela em duas colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Ms/ano;
2 coluna: Percentual (em porcentagem).
<F+>
<R->
<p>
<F->
 !:::::::::::::::::
 l 1      _ 2   _
 r::::::::::w:::::::_
 l 06/07 _ 0,28 _
 l 07/07 _ 0,24 _
 l 08/07 _ 0,47 _
 l 09/07 _ 0,18 _
 l 10/07 _ 0,30 _
 l 11/07 _ 0,38 _
 l 12/07 _ 0,74 _
 l 01/08 _ 0,54 _
 l 02/08 _ 0,49 _
 l 03/08 _ 0,48 _
 l 04/08 _ 0,55 _
 l 05/08 _ 0,79 _
 l 06/08 _ 0,74 _
 h::::::::::j:::::::j
<F+>

<R+>
<F->
_`[{contedo da tabela "principais variaes de preos no IPCA de junho (em porcentagem)_`]
feijo carioca :> 15,55;
arroz :> 9,90;
gs encanado :> 8,76;
gs veicular :> 8,31;
carnes :> 6,91;
passagens areas :> 3,70;
<p>
produtos alimentcios :> 2,11;
leo diesel :> 1,53;
artigos de limpeza :> 1,33;
artigos de higiene pessoal 
  :> 1,29;
salrio de empregado domstico 
  :> 1,04;
produtos no-alimentcios 
  :> 0,34;
gasolina :> -0,08;
lcool :> -1,94;
frutas :> -1,96;
leo de soja :> -2,76.
<F+>
<R->

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas "inflao acumulada no primeiro semestre (srie histrica dos ltimos 10 anos)" adaptado na forma de tabela em duas colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Ano;
2 coluna: Percentual (em porcentagem).
<F+>
<R->
<p>
<F->
 !::::::::::::::
 l 1   _ 2   _
 r:::::::w:::::::_
 l 1999 _ 3,96 _
 l 2000 _ 1,64 _
 l 2001 _ 2,96 _
 l 2002 _ 2,94 _
 l 2003 _ 6,64 _
 l 2004 _ 3,48 _
 l 2005 _ 3,16 _
 l 2006 _ 1,54 _
 l 2007 _ 2,08 _
 l 2008 _ 3,64 _
 h:::::::j:::::::j
<F+>

<R+>
<F->
_`[{contedo da tabela "principais impactos de alta no IPCA do primeiro semestre (em porcentagem)"_`]
tomate :> 106,41;
feijo preto :> 57,73;
cebola :> 48,42;
arroz :> 38,21;
leo de soja :> 26,45;
po francs :> 20,95;
carnes :> 10,14;
leite pasteurizado :> 9,00;
<p>
servio bancrio :> 8,87;
refeio fora de casa :> 7,94;
lanche fora de casa :> 5,37;
empregado domstico :> 5,19;
higiene pessoal :> 4,56;
cursos diversos :> 4,54;
colgios :> 4,52;
reparos :> 3,66;
remdios :> 3,51;
plano de sade :> 3,14;
aluguel :> 2,55;
nibus urbano :> 2,16.

  O ndice de inflao  uma mdia ponderada da variao de preos de diversos itens: alimentos, servios, transportes, etc. De acordo com os dados do grfico e da tabela, responda: 
a) Quanto aumentou o preo do feijo preto no 1 semestre de 2008?  
b) Nos dez anos analisados, quando ocorreu e qual foi a maior inflao do 1 semestre? Em qual ano ocorreu e quanto foi a menor inflao? 
<p>
c) Como variou a inflao de 2003 a 2006? E de 2006 a 2008?
<167>

15. Veja este grfico publicado no jornal *Folha de S. 
  Paulo*, de 30/7/2008, em reportagem sobre mortalidade infantil. So contadas as crianas nascidas vivas que morrem no primeiro ano de vida. 

Mortalidade infantil -- ndice cai no estado de So Paulo em relao a 1995

_`[{grfico de linhas "Mortalidade infantil" destacando a taxa de mortes por mil nascidos vivos no estado e na cidade de So Paulo, adaptado na forma de tabela, contedo a seguir_`]
1 coluna: Ano; 
2 coluna: Estado de So 
  Paulo;
3 coluna: Cidade de So 
  Paulo.
<F+>
<R->
<p>
<F->
 !:::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2   _ 3   _
 r:::::::w:::::::w:::::::_
 l 1995 _ 24,6 _ 23,4 _
 l 2000 _ 17   _ 15,8 _
 l 2003 _ 14,8 _ 14,2 _
 l 2007 _ 13,1 _ 12,6 _
 h:::::::j:::::::j:::::::j
<F+>

<R+>
<F->
Observao: No Brasil 24,9 foi a taxa em 2006 e nos Estados Unidos 5  aproximadamente a taxa de mortalidade infantil.

Fontes: *Fundao Seade e Secretaria de Sade de SP*.

a) Em relao a 1995, quanto por cento caiu o ndice de mortalidade infantil no estado de So Paulo? 
b) Em que ano o ndice na cidade de So Paulo no foi menor do que no estado de So Paulo? 
<p>
c) Na reportagem referida, l-se: "Apesar de o governo comemorar a reduo, a taxa ainda  alta se comparada a pases como Estados Unidos (5) e Portugal (7)". 
  Observando os dados a seguir, responda: entre 10.000 crianas 
  nascidas vivas no ano 2000, na cidade de So Paulo, aproximadamente quantas morreram no primeiro ano? E entre 10.000 crianas nascidas vivas em 2006, no Brasil, quantas morreram? E entre 10.000 crianas nascidas vivas em Portugal no mesmo ano de 2006, quantas morreram?  

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

16. Observe estes grficos publicados no jornal *Folha de S. Paulo*, de 13/6/2008, em reportagem sobre o ensino bsico no Brasil. 
<p>
A evoluo das notas no SAEB

Melhoria de 2007 ainda no 
  superou patamar de 1995

_`[{grfico de linhas, apresentando o resultado da disciplina Matemtica, adaptado na forma de tabela em 4 colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Ano;
2 coluna: 4 srie do ensino fundamental;
3 coluna: 8 srie do ensino fundamental;
4 coluna: 3 ano do ensino mdio.
<F+>
<R->
<p>
 ::::::::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2  _ 3  _ 4  _
 r:::::::w::::::w::::::w::::::w
 l 1995 _ 191 _ 253 _ 282 _
 l 1997 _ 191 _ 250 _ 289 _
 l 1999 _ 181 _ 246 _ 280 _
 l 2001 _ 176 _ 243 _ 277 _
 l 2003 _ 177 _ 245 _ 279 _
 l 2005 _ 182 _ 240 _ 271 _
 l 2007 _ 193 _ 247 _ 273 _
 v-------#------#------#------#
<F+>

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas, apresentando o resultado da disciplina Lngua Portuguesa, adaptado na forma de tabela em 4 colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Ano;
2 coluna: 4 srie do ensino fundamental;
3 coluna: 8 srie do ensino fundamental;
4 coluna: 3 ano do ensino mdio.
<F+>
<R->
<p>
<F->
 !:::::::::::::::::::::::::
 l   1 _ 2  _ 3  _ 4  _
 r:::::::w::::::w::::::w::::::w
 l 1995 _ 188 _ 256 _ 290 _
 l 1997 _ 187 _ 250 _ 284 _
 l 1999 _ 171 _ 233 _ 267 _
 l 2001 _ 165 _ 236 _ 262 _
 l 2003 _ 169 _ 232 _ 267 _
 l 2005 _ 172 _ 232 _ 258 _
 l 2007 _ 176 _ 235 _ 261 _
 h:::::::j::::::j::::::j::::::j

<R+>
a) Em geral, as mdias dos alunos tm sido maiores em Matemtica ou em Lngua Portuguesa? 
b) Compare os resultados obtidos em 2007 com os de 2005. So melhores ou piores? E em relao aos de 1995? 
<F+>
<R->

Entenda as notas

  As escalas no Saeb (Sistema de Avaliao da Educao Bsica) variam de 0 a 500. Como as 
<p>
provas tm o mesmo nvel de dificuldade em todos os exames, elas podem ser comparadas de um ano para o outro ou mesmo entre as sries. 
  Os testes do Saeb, bem como os da Prova Brasil, so utilizados pelo MEC para medir o desempenho dos estudantes. Elas fazem parte do clculo do Ideb (ndice de Desenvolvimento da Educao Bsica).
  Nesse ndice, no entanto, alm do Saeb e da Prova Brasil, o ministrio leva em conta tambm o percentual de aprovao em cada nvel de ensino para, a partir dessas duas dimenses, dar uma nota de zero a dez a cada Estado, municpio ou escola.
<168>

A campanha do Brasil 

  No Campeonato Mundial de Futebol de 2006, o Brasil jogou 23 vezes, contando a fase classificatria sul-americana. 
<p>
  Na tabela a seguir esto os resultados do Brasil, que acabou eliminado pela Frana. A Copa de 2006 foi disputada na Alemanha e a campe foi a Itlia. 

 !::::::::::::::::::::::::::::::::
 l O Brasil na copa de 2006    _
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Brasil  _ 2 { 1_ Colmbia _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 0_ Equador  _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 1_ Peru     _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 3 { 3_ Uruguai  _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 0 { 0_ Paraguai _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 3 { 1_ Argentina_
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 1_ Chile    _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 3 { 1_ Bolvia  _
 h::::::::::j:::::::::j:::::::::::j
<p>
Continuao
 !::::::::::::::::::::::::::::::::
 l O Brasil na copa de 2006    _
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Brasil  _ 5 { 2_ Venezuela_
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 0 { 0_ Colmbia _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 0 { 1_ Equador  _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 0_ Peru     _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 1_ Uruguai  _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 4 { 1_ Paraguai _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 3_ Argentina_
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 5 { 0_ Chile    _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 1_ Bolvia  _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 3 { 0_ Venezuela_
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 1 { 0_ Crocia  _
 h::::::::::j:::::::::j:::::::::::j
<p>
Continuao
 !::::::::::::::::::::::::::::::::
 l O Brasil na copa de 2006    _
 r::::::::::::::::::::::::::::::w
 l Brasil  _ 2 { 0_ Austrlia_
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 4 { 1_ Japo    _
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 3 { 0_ Gana     _  
 r::::::::::w:::::::::w:::::::::::w
 l Brasil  _ 0 { 1_ Frana   _
 h::::::::::j:::::::::j:::::::::::j

  A tabela mostra que os gols marcados pelo Brasil, em cada jogo, foram: 
<R+>
 2; 1; 1; 3; 0; 3; 1; 3; 5; 0; 0; 1; 1; 4; 1; 5; 1; 3; 1; 2; 4; 3; 0. 
<R->
<169>
<p>
Mdia 

  Vamos fazer a tabela de frequncia para os gols marcados: 

 !::::::::::::::::::::::
 l gols     _ frequncia _
 l marcados _            _
 r::::::::::w::::::::::::w
 l 0       _ 4         _
 l 1       _ 8         _
 l 2       _ 2         _
 l 3       _ 5         _
 l 4       _ 2         _
 l 5       _ 2         _
 l soma     _ 23        _
 h::::::::::j::::::::::::j

  Agora calculamos a mdia aritmtica dos nmeros de gols marcados nos 23 jogos: 
<R+>
 ?04+18+22+35+42+
  +52*~23=
  =?0+8+4+15+8+10*~23=
  =45~23^=1,96
<R->
  Em mdia, o Brasil marcou 1,96 gol por jogo. 
<p>
Moda 

  Qual a quantidade de gols marcada pelo Brasil com maior frequncia? 
  Observando a tabela, notamos que nosso time marcou 1 gol em 8 jogos. Esse foi o resultado que ele conseguiu mais vezes (com maior frequncia). Por isso, dizemos que a moda dessa distribuio  1 gol marcado. 

  Moda de uma distribuio de frequncia  o nmero observado com maior frequncia. 

  A moda  uma medida estatstica interessante quando h um nmero que se destaca aparecendo mais vezes que os outros. Ele  a moda da distribuio. 
  Se houver dois nmeros que se destacam igualmente (com frequncias iguais entre si e maiores que 
<p>
as dos demais nmeros), dizemos que a distribuio  bimodal (tem duas modas). Veja um exemplo na tabela a seguir. Dos 32 alunos que fizeram a prova, 8 tiraram nota 5 e tambm 8 tiraram nota 6. Como 8  a maior frequncia observada, h duas modas: nota 5 e nota 6. 
  Se no houver um ou dois nmeros que se destaquem, a moda deixa de ser uma medida interessante. 

 !:::::::::::::::::::::::::
 l distribuio das notas  _
 l  da prova de matemtica _
 r::::::::::::::::::::::::w
 l  nota  _  frequncia    _
 r::::::::w::::::::::::::::w
 l 3     _ 3             _
 l 4     _ 5             _
 l 5     _ 8             _
 l 6     _ 8             _
 l 7     _ 6             _
 l 8     _ 2             _
 l soma   _ 32            _
 h::::::::j::::::::::::::::j
<p>
Mediana 

  Vamos agora anotar o nmero de gols marcados pelo Brasil na Copa do Mundo de 2006, do menor para o maior, com todas as repeties: 
<R+>
0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 5. 
<R->
  Eles esto em ordem montona no decrescente. 
  Que nmero fica bem no meio (na posio central) dessa sequncia? 
  Como temos 23 nmeros, o que fica na posio central  o 12: 
<R+>
<F->
11 termos :> 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1. 
termo central ou mediana :> 1
11 termos :> 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 5.
<F+>
<R->
<170>
  O termo central da sequncia  chamado mediana da distribuio. Nesse exemplo, a mediana  1. 
<p>
  A mediana de uma distribuio  o termo central da sequncia formada pelos valores observados, quando colocados em ordem montona no decrescente. 

  A mediana  uma medida estatstica de posio central, que transmite a seguinte ideia: dos valores observados, metade  formada por nmeros menores do que a mediana (ou iguais a ela) e metade por nmeros maiores do que ela (ou iguais a ela). 
  No exemplo, a mediana  1 gol marcado, o que significa: em metade dos jogos, o Brasil marcou 1 gol ou menos e, na outra metade, 1 gol ou mais. 
  Quando h uma quantidade par de valores observados, a mediana  a mdia aritmtica dos dois valores que ocupam as posies centrais da sequncia (na ordem no decrescente). Por exemplo: 
<p>
  As idades das seis pessoas da famlia da Luana, em anos: 
<R+>
<F->
6; 12 -- 2 termos; 
14; 17 -- termos centrais; 
41; 42 -- 2 termos.
<R->
mediana =14+17~2=31~2=15,5
<F+>
<R->
  A mediana  15,5 anos. Trs idades so menores e trs so maiores do que a mediana. 

Exerccios

<R+>
<F->
17. Faa o que se pede. 
a) Monte a tabela de frequncias dos gols sofridos pelo Brasil no campeonato mundial de 2006 (os resultados dos jogos esto na tabela das pginas 473 a 475). 
b) Qual  a moda dessa distribuio? 
c) Qual  a mediana? 
d) Em mdia, quantos gols por jogo o Brasil sofreu? 
<p>
18. Consulte a tabela de distribuio do nmero de irmos dos alunos da classe na pgina 431. 
a) Qual  a moda? Por qu?
b) Qual  a mediana? Explique o significado da mediana. 
c) Em mdia, quantos irmos tem cada aluno? Explique o significado da mdia. 

19. As idades, em anos, dos seis jogadores titulares da seleo brasileira de voleibol so: 
20; 23; 25; 26; 30; 32 
a) Qual  a idade mdia? 
b) Qual  a idade mediana? 
c) Qual  a moda (idade modal)? 

20. Calcule a mdia, a mediana e a moda: 
a) do nmero de gols do exerccio 1. 
b) das notas dos alunos do exerccio 2. 
<p>
c) dos nmeros de erros por dia do exerccio 3. 
d) dos salrios do exerccio 4. 

21. Na tabela a seguir esto os salrios de 100 pessoas. 
<F+>
<R->

 :::::::::::::::::::::::::::::::
 salrio (R$) _ n.o de pessoas 
 ::::::::::::::::w:::::::::::::::
 400,00         _ 30           
 ::::::::::::::::w:::::::::::::::
 500,00         _ 40           
 ::::::::::::::::w:::::::::::::::
 1.000,00       _ 20           
 ::::::::::::::::w:::::::::::::::
 10.000,00      _ 10           
 ::::::::::::::::w:::::::::::::::
 soma            _ 100          
 ::::::::::::::::j:::::::::::::::

<R+>
<F->
a) Calcule a mdia desses salrios. 
b) Qual  a mediana? 
<p>
c) Das duas medidas, mdia e mediana, qual d melhor ideia dessa distribuio de salrios? 

22. Uma pequena fbrica de calados deseja lanar um novo modelo. O dono decide comear fabricando esse modelo em apenas 
  um tamanho. Pesquisando a numerao dos calados usados pela clientela, que medida estatstica seria recomendada para decidir o tamanho a ser fabricado?  
23. O Brasil foi o primeiro campeo mundial de futebol deste sculo. Na Copa de 2002, realizada no Japo e na Coreia do Sul, tivemos 7 vitrias, como mostra a tabela 1 a seguir. 
<p>
  Copie as duas tabelas em seu caderno e complete a tabela 2. 
<F+>
<R->

 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Brasil_ 2 { 1_ Turquia    _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::::::w
 l Brasil_ 4 { 0_ China      _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::::::w
 l Brasil_ 5 { 2_ Costa Rica_
 r::::::::w:::::::::w:::::::::::::w
 l Brasil_ 2 { 0_ Blgica    _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::::::w
 l Brasil_ 2 { 1_ Inglaterra _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::::::w
 l Brasil_ 1 { 0_ Turquia    _
 r::::::::w:::::::::w:::::::::::::w
 l Brasil_ 2 { 0_ Alemanha   _
 h::::::::j:::::::::j:::::::::::::j

<R+>
<F->
_`["Tabela 2 -- Estatsticas da Copa 2002_`]
Brasil; mdia dos gols marcados ''' { ''' mdia dos gols sofridos;
Brasil; mdia dos gols marcados ''' { ''' mdia dos gols sofridos;
<p>
Brasil; mdia dos gols marcados ''' { ''' mdia dos gols sofridos.

24. Em distribuies de frequncias por classes (ou intervalos), para obter a mdia consideramos os pontos mdios das classes com as respectivas frequncias. Copie e complete a tabela a seguir, relativa aos dados do exerccio 7, e calcule o tempo mdio gasto pelos candidatos. 

_`[{tabela adaptada em quatro colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: Tempo (min);
2 coluna: Ponto mdio;
3 coluna: Nmero de candidatos;
4 coluna: Produto.
<R->
<F+>
<p>
<F->
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l1         _ 2  _ 3_ 4  _
 r::::::::::::w::::::w::::w::::::w
 l100 _: 120_ 110 _ 12_1.320_
 l120 _: 140_ 130 _ 20_2.600_
 l140 _: 160_ ...  _ 16_ ...  _
 l160 _: 180_ ...  _ 14_ ...  _
 l180 _: 200_ ...  _ 8 _ ...  _
 l200 _: 220_ ...  _ 6 _ ...  _
 l220 _: 240_ ...  _ 4 _ ...  _
 lsoma        _ --   _80 _ ...  _
 h::::::::::::j::::::j::::j::::::j
<F+>

<R+>
<F->
25. Calcule a nota mdia dos candidatos do exerccio 8.  
<172>
26. Calcule a nota mdia dos alunos no exerccio 9, a partir da tabela de frequncias do item a).  
27. Calcule a massa mdia das crianas recm-nascidas, da tabela da pgina 448.  
28. Com base nos grficos elaborados com dados do Censo 2000, responda s perguntas a seguir. 
<p>
_`[{grficos "Brasil -- Estrutura da populao por sexo e idade" adaptados, contedo a seguir_`]
Ano -- 1940
Idade: 0 a 4; Masculino :> 16 milhes; Feminino :> 14 milhes.
Idade: 5 a 9; Masculino :> 14 milhes; Feminino :> 13 milhes.
Idade: 10 a 14; Masculino 
  :> 13 milhes; Feminino :> 12 milhes.
Idade: 15 a 19; Masculino 
  :> 11 milhes; Feminino :> 10 milhes.
Idade: 20 a 24; Masculino 
  :> 9 milhes; Feminino :> 9 milhes.
Idade: 25 a 29; Masculino 
  :> 8 milhes; Feminino :> 7 milhes.
Idade: 30 a 34; Masculino 
  :> 7 milhes; Feminino :> 5 milhes.
<p>
Idade: 35 a 39; Masculino 
  :> 7 milhes; Feminino :> 5 milhes.
Idade: 40 a 44; Masculino 
  :> 5 milhes; Feminino :> 4 milhes.
Idade: 45 a 49; Masculino 
  :> 4 milhes; Feminino :> 3 milhes.
Idade: 50 a 54; Masculino 
  :> 3,5 milhes; Feminino :> 2 milhes.
Idade: 55 a 59; Masculino 
  :> 3 milhes; Feminino :> 1,5 milho.
Idade: 60 a 64; Masculino 
  :> 2,5 milhes; Feminino :> 1 milho.
Idade: 65 a 69; Masculino 
  :> 1 milho; Feminino :> meio milho.
Idade: 70 anos ou mais; Masculino :> 2 milhes; Feminino 
  :> 1 milho.
<p>
Ano -- 2000
Idade: 0 a 4; Masculino :> 8 milhes; Feminino :> 8 milhes.
Idade: 5 a 9; Masculino :> 8 milhes; Feminino :> 8 milhes.
Idade: 10 a 14; Masculino 
  :> 9 milhes; Feminino :> 9 milhes.
Idade: 15 a 19; Masculino 
  :> 8 milhes; Feminino :> 8 milhes.
Idade: 20 a 24; Masculino 
  :> 7,5 milhes; Feminino 
  :> 7,5 milhes.
Idade: 25 a 29; Masculino 
  :> 6,5 milhes; Feminino 
  :> 6,5 milhes.
Idade: 30 a 34; Masculino 
  :> 6 milhes; Feminino :> 6 milhes.
Idade: 35 a 39; Masculino 
  :> 6 milhes; Feminino :> 6 milhes.
<p>
Idade: 40 a 44; Masculino 
  :> 5 milhes; Feminino :> 5 milhes.
Idade: 45 a 49; Masculino 
  :> 4,5 milhes; Feminino 
  :> 4,5 milhes.
Idade: 50 a 54; Masculino 
  :> 3,5 milhes; Feminino 
  :> 3,5 milhes.
Idade: 55 a 59; Masculino 
  :> 2 milhes; Feminino :> 2 milhes.
Idade: 60 a 64; Masculino 
  :> 2,5 milhes; Feminino 
  :> 2,5 milhes.
Idade: 65 a 69; Masculino 
  :> 2 milhes; Feminino :> 2 milhes.
Idade: 70 anos ou mais; 
  Masculino :> 2,5 milhes; Feminino :> 2,5 milhes.

Fontes: *Diretoria de Pesquisa, Ipea e IBGE*. 
<p>
a) Em 1940, na faixa etria de 65 a 69 anos, havia mais homens ou mais mulheres no Brasil? E em 2000? 
b) A idade modal da populao brasileira em 1940 estava na faixa de 0 a 4 anos, porque era nessa faixa que havia mais habitantes. Em que faixa estava a idade modal em 2000? 
<R->
<F+>

Desafio 

Contando diagonais 

  Observe os polgonos _`[no representados_`] e suas diagonais. 
  Agora, pense! 
  Contando lados e diagonais, num polgono convexo h 55 segmentos ligando dois de seus vrtices. Quantas so as diagonais desse polgono? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<173>
<p>
Matemtica em notcia

<R+>
Em dezembro, 13 deve injetar R$64 bi na economia 
<R->

  Valor  9% maior que o de 2006; maior concentrao  no Sudeste. 
  A economia brasileira deve receber at o dia 20 do ms que vem cerca de R$64 bilhes, ou 2,5% do Produto Interno Bruto (PIB), por conta do pagamento do 13 salrio. [...] 
  Mais da metade dos recursos `(56,3%`) vai para os trabalhadores da regio Sudeste, com destaque para So Paulo. "De cada R$1 recebido por conta do 13 salrio, R$0,34 est nas mos dos trabalhadores paulistas". 
<p>
<F->
<R+>
_`[{grfico de setores "a fatia de cada um" destacando em porcentagem a participao no 13 em 
  valores pagos neste ano, contedo a seguir_`]
Assalariados do mercado formal 
  :> 67,5;
Beneficirios do INSS :> 21,3;
Aposentados e pensionistas da 
  Unio :> 5,7;
Aposentados e pensionistas dos Estados :> 4,0;
Empregados domsticos com carteira :> 1,5.
<R->
<F+>

  Valor mdio recebido por trabalhador em 2006, R$812 e em 2007 R$919 `(13,17%`).

Fonte: *DIEESE*

(*O Estado de S. Paulo*, 2/11/2007.) 

  A reportagem refere-se ao pagamento do 13 salrio aos trabalhadores no ms de dezembro de 2007. 
<p>
  Leia os dados, use uma calculadora e faa as seguintes estimativas: 
<R+>
<F->
a) do PIB, naquele ms; 
b) do total recebido pelos trabalhadores paulistas; 
c) do total recebido pelos trabalhadores da regio Sudeste; 
d) do total recebido pelos aposentados e pensionistas do servio pblico;  
e) do total de pessoas que receberam o 13 salrio em 2007; 
f) do total de pessoas que receberam o 13 salrio em 2006. 
<R->
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte


